文章介绍了函数方程的概念及其求解方法，通过四个例题展示了换元法、赋值法、待定系数法和构造夹逼法等技巧。例1用换元消去法求解；例2通过赋值联立方程组求解；例3利用待定系数法结合不等式条件确定二次函数；例4构造函数方程并利用不等式夹逼证明唯一解，最终求得无穷根式的值。

本文介绍了函数的单调性、奇偶性、周期性、图像变换及反函数等基本概念，并通过例题演示如何利用复合函数单调性求解函数y=log₂(x²+4x+4)的单调区间，得到其在(-∞,-2)上单调递增的结论。

本文介绍了艾森斯坦判别法和有理根定理。艾森斯坦判别法：若存在素数p满足p不整除最高次项系数、整除其余系数且p²不整除常数项，则多项式在有理数域不可约。有理根定理：若最简分数q/p是整系数多项式的有理根，则p整除最高次项系数，q整除常数项。文中通过例题演示了如何应用这两个定理判断多项式不可约性及求解有...

设$x∈[ 0, {\pi} ]$，试比较$cos(sinx)$与$sin(cosx)$的大小。解：令$x=0$，$\frac{\pi}{2}$，$\pi$分别代入$cos(sinx)$和$sin(cosx)$，易得$cos(sinx)>sin(cosx)$.又当$\frac{\pi}{2}&...

文章介绍了四则运算中的五个基本定律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律，并分别使用图形进行说明。

来自日本京都大学2016年入学考试的一道题：判断tan1°是否是有理数。解析通过反证法，假设tan1°是有理数，则利用两角和的正切公式可推出所有整数度的正切值均为有理数，但tan60°=√3是无理数，产生矛盾，因此tan1°是无理数。文章还提到高斯曾发现，当α（弧度制）是无理数时，tanα必为无理数...

我国对高次方程研究较早，13世纪已能解十次方程正根。16世纪意大利数学家解决了一般三次方程的解法，其步骤包括化为缺项三次方程、求解缺项方程及确定根。文章介绍了韦达公式、缺项三次方程的变换（令y=x-a/3消去二次项）以及卡尔达诺求根公式（设x=u+v，得到u³和v³满足二次方程）。最后举例用有理根试...

文章包含两个数学例题：第一题求曲线y=lnx的切线、与坐标轴围成图形的面积及绕直线x=e旋转的体积；第二题涉及汽锤打桩的变力做功问题，通过定积分和等比数列求和计算击打深度及极限值。两题均运用定积分进行求解。

文章讲述了圆周率符号π在历史上的多种用途：曾用于表示比率、圆周、阶乘、连乘等，后来逐渐统一为表示圆周率，但至今仍被用于表示素数计数函数，体现了π符号“身兼数职”的历史演变。

本文通过构造辅助函数$f(x)=(x^2-1)\ln x-(x-1)^2$，利用导数分析其单调性，证明当$x>0$时$f(x)\geq f(1)=0$，从而得出原不等式成立，体现了辅助函数在不等式证明中的应用。

本文介绍了笔算开7次方根和11次方根的方法，通过分级确定根的位数，估算个位数并逐步调整，最终精确计算出结果，例如$\sqrt[7]{62748517}=13$和$\sqrt[11]{584318301411328}=?$等。

本文针对分母为四位数的分数等式1/□□□□+1/1988=1/□□□□，通过简化问题，推导出形如1/X+1/Y=1/Z的一般解公式：X=R(R+S)T，Y=S(R+S)T，Z=R·S·T（R,S,T为自然数），并建议读者用此公式求解原题。

已知表达式 a = (11×66+12×67+13×68+14×69+15×70)/(11×65+12×66+13×67+14×68+15×69) × 100。通过分子加11+12+13+14+15后变形为 a = 100 + (11+12+13+14+15)/(分母) × 100。利用分母介于65...

分形几何学中的分维（分数维）概念由数学家豪斯道夫于1919年提出，他认为空间维数可以连续变化，既可以是整数也可以是分数，称为豪斯道夫维数，记作$D$。其定义为：若客体沿每个独立方向扩大$L$倍，新客体为原客体的$K$倍，则$K=L^D$，即$D=\log_L K$。