【相关概念】
1、单调性：设函数$y=f ( {x} )$在区间$[ {a,b} ]$上满足：若${x}_{1},{x}_{2}\in[ {a,b} ]$且${x}_{1}<{x}_{2}$时，恒有$f(x_1)<f(x_2)(f(x_1)>f(x_2))$成立，则称$y=f(x)$在区间$[a,b]$上单调递增（单调递减）函数，称区间$[a,b]$是函数$y=f(x)$的单调递增区间（单调递减区间）。
2、奇偶性：若函数$y=f(x)$对定义域内一切$x$，都有$f(-x)=f(x)$(或$f(-x)=-f(x)$)，则称$y=f(x)$为偶函数（或奇函数）。
3、周期性：函数$y=f(x)$满足：对定义域内任意$x$，存在常数$T \neq 0$，使$f(x+T)=f(x)$恒成立 ，则称$y=f(x)$为周期函数，$T$为$y=f(x)$的周期。
4、函数图像：
（1）图像的对称性
（2）平移变换
（3）翻折变换
（4）压缩变换
5、反函数
$从$A$到$B$的映射$f$，满足对$B$中的每个元素，在$A$中都有唯一的元素是它的原象，则把这样的映射叫做从集合$A$到集合$B$的一一映射。
我们称从B到A的映射叫做f的逆映射，记作$f^{-1}:B \to A$，由此确定的函数$x=f^{-1}(y)叫做函数$y=f(x)$的反函数。一般记作$y=f^{-1}(x)$。
（1）反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域，其图像关于$y=x$对称。
（2）单调函数一定具有反函数，任何函数在某一单调区间上都存在反函数。
（3）$f^{-1}(f((x))=x$，$f(f^{-1}(y))=y$。
【例题讲解】
例. 试求函数$y=f(x)=log_{0.5}(x^2+4x+4)$的单调区间。
解：由$x^2+4x+4=(x+2)^2>$0知，函数的定义域为$(-\infty ,-2) \cup (-2,+\\infty )$.
令$y=f(u)={log}_{0.5}u$，$u={x}^{2}+4x+4$. 由于$f(u)$在$R^+上$是单调递减函数，$u=x^2+4x+4$在$(-\infty ,-2)$上是减函数，在$(-2,+\infty )$上增函数，那么由复合函数的单调性可知，$y=f(x)=log_{0.5}(x^2+4x+4)$在$(-\infty ,-2)$上是单调增函数。
事实上，令${x}_{1}<{x}_{2}<-2$，则
$f({x}_{2})-f({x}_{1})={log}_{0.5}(\frac {{x}_{2}+2} {{x}_{1}+2})^2$.
由$x_1+2<x_2+2<0$得
$0<\frac{x_2+2}{x_1+2}<1$.
故$0<(\frac{x_2+2}{x_1+2})^2<1$。
由对数函数性质及$0<(\frac{x_2+2}{x_1+2})^2<1$可知
$f({x}_{2})-f({x}_{1})={log}_{0.5}(\frac {{x}_{2}+2} {{x}_{1}+2})^2>0$.
所以，$f(x)$在$(-\infty ,-2)$上单调增函数。