艾森斯坦（Eisenstein）判别法和有理根定理的应用

【艾森斯坦（Eisenstein）判别法】

设$f(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n$是一个整系数多项式。若是能够找到一个素数$p$，使

（I）$p \not{\mid} a_n$，

（II）$p \mid a_i (i = 0,1,2,...,n-1 )$，

（III）$p^2 \not{\mid} a_0$.

那么多项式$f(x)$在有理数域上不可约.

例1. 证明以下多项式在有理数域上不可约：

(1) $x^4-2x^3+8x-10$;

(2) $2x^5+18x^3+6x^2+6$;

(3) $x^4-2x^3+6x^2-3$;

(4) $x^6+x^3+1$.

解：

（1）取$p=2$，即可知原多项式不可约;

（2）取$p=3$，即可知原多项式不可约;

（3）令$y=x+1$，则

原式$=(y-1)^4-2(y-1)^3+6(y-1)^2-3 =y^4-6y^3+12y^2-8y+2 $

取$p=2$即可知原多项式不可约。

（4）令$y=x-1$，则

原式$=(y+1)^6+(y+1)^3+1 =y^6+6y^5+15y^4+21y^3+18y^2+9y+3$.

取$p=3$即可知原多项式不可约。

【有理根定理】设$f(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n$是一个整系数多项式。

如果最简分数$\frac{q}{p}$是它的一个有理根，那么$p \mid a_n$, $q \mid a_0$。

例2. 求以下多项式的有理根：

(1) $x^3-6x^2+15x-14$;

(2) $4x^4-7x^2-5x-1$;

(3) $x^5-x^4-\frac{5}{2}x^3+2x^2-\frac{1}{2}x-3$.

解：

(1)最高次项系数的因数是$\pm 1$，常数项系数的因数是$\pm 1$, $\pm2$,$\pm 7$,$\pm 14$。

所以原多项式的有理根可能是$\pm 1$, $\pm2$, $\pm 7$,$\pm 14$。

又因为$f(1)=-4$,$f(-1)=-36$，

当且仅当$\alpha=\pm2$时，$\frac{f(1)}{1-\alpha}和\frac{f(-1)}{1+\alpha}$为整数，

而

$\underline{\begin{matrix}-2 \mid 1 & -6 & 15 & -14 \\ & -2 & 16 & -62 \end{matrix}}$

最后一列的结果和为$-76$，不为$0$，所以$x=-2$不是原方程的有理根。

$\underline{\begin{matrix}2 \mid 1 & -6 & 15 & -14 \\ & 2 & -8 & 14 \end{matrix}}$

最后一列的结果和为0，所以原方程的有理根是$x=2$.

(2)类似（1）分析，可得原方程的有理根是$x=-\frac{1}{2}$.

(3)先将原多项式同乘2，转化为整系数多项式

$2x^5-2x^4-5x^3+2x^2-x-6$，

再类似（1）分析，可得原方程的有理根是$x=-1$和$x=2$.