摘要：文章探讨了一个数学问题：从二次三项式 (x^2+10x+20) 开始，每次操作可将一次项系数或常数项加1或减1（不能同时变），最终得到 (x^2+20x+10)。通过分析函数在 (x=-1) 处的值（初始为11，最终为-9），每次操作使该值变化±1，因此过程中必经过0，此时二次三项式有整数根 (x=-1)，从而证明存在这样的时刻。
题目：教师在黑板上写一个二次三项式$f(x)=x^2+10x+20$，
每个学生再随意把一次项的系数加1或减1，也可以把常数项加1或减1，
但不能两者同时进行，最后得到二次三项式$f(x)=x^2+20x+10$。
是否存在变化过程中某个时刻得到一个具有整数根的二次三项式？
解：设在变化过程中霜个时刻得到的二次三项式为$f(x)=x^2+ax+b$，
根据题设条件可能写出的二次三项式为
$g_1(x)=x^2+(a \\pm 1)x+b$，或$g_2(x)=x^2+ax+(b \\pm 1)$，
令$x=-1$时，有
$f(-1)=1-a+b$,
$g_1(-1)=1-a+b\pm 1$,
$g_2(-1)=1-a+b\pm 1$。
比较上面三式，得到
$g_1(-1)=f(-1)\pm 1 或 g_2(-1)=f(-1)\pm 1$。
这就说明按题设条件进行操作变化时，每次总是二次三项式$f(x)$在$x=-1$时的值增加1或减少1。
又因为在变化前$f(x)=x^2+10x+20$在$x=-1$时的值为11，
变化后，最后得到的$f(x)=x^2+20x+10$在$x=-1$时的值为-9，
所以，在变化过程中必有某个时刻得到的二次三项式在$x=-1$时的值为0，
即此时的二次三项式有整数根$x_0=-1$，得证。