恒等式（x－1）²＝x²－2x＋1的演绎推理

中学里学了恒等式，例如下图的等式就是一个恒等式。

$\left(x-1\right)^2=x^2-2x+1$

用$x=1$代入，两边都得0；$x=2$，两边都得1；$x=3$，两边都得4。

这样举了三个例子之后，能不能肯定式上面的等式是恒等式呢？

所谓恒等式，就是要求x取所有数值时等号两边都相等。才验证了三个x的值，怎么能断定它一定恒等呢？

其实，这三个实例已经证明了上式是恒等式。道理是：如果它不是恒等式，它一定是二次或一次方程，而这种方程不可能有三个根。现在1，2，3都是“根”，说明它不是方程而是恒等式。

在这个具体问题，演绎推理支持了归纳推理。我们用数学上的演绎法证明了归纳法的有效性。

一般说来，代数恒等式的检验都可以用举例子的方法。不过，高次，高次的和多元的等式，要用更多的例子罢了。
更为了有趣的是，有些代数恒等式用一个例子也能解决问题。

例如，在开篇的等式中取x=10代入，两边都是81，这就已经证明了它是恒等式。

为什么呢？请看下面利用不等式来说明：

如果不是恒等式就可以整理成一个二次或一次方程：

$ax^2+bx+c=0$

而且a，b，c都是绝对值不大于6的整数。这是因为左边展开后至多只有4项，每项系数都是±1，右端系数绝对值最大是2。

如果我们用$x=10$代入后，得到：

$100a+10b+c=0$

因而

$|100a|=|10b+c|=0$

可是由于a，b，c是绝对值不大于6的整数，所以必须a＝0。从而得到，

$|10b+c|=0$

因而，

$|10b|=|c|=0$

所以又有b＝0，进而c＝0，这就证明开篇的式子是恒等式。

这个方法也适用于检验高次的多变元的代数等式是不是恒等式 。只用一个例子就可以。当次数越高，变元越多时，例子所涉及的的数值就越大。

这些事实表明：在数学王国的某些角落里里，归纳法可以有效地证明一般性的命题，甚至可以用一个特例证明一般的命题。归纳法的这种力量，是由演绎推理证明的！

【附】图说开篇恒等式：

$\left(x-1\right)^2=x^2-2x+1$