摘要：本文通过构造辅助函数$f(x)=(x^2-1)\ln x-(x-1)^2$，利用导数分析其单调性，证明当$x>0$时$f(x)\geq f(1)=0$，从而得出原不等式成立，体现了辅助函数在不等式证明中的应用。
前言：不等式的证明关键在于辅助函数的构造；也可以先将要证的不等式作适当的变形进行证明。
【例】试证明：当$x>0$时，$({x}^{2}-1)lnx\geq {(x-1)}^{2}$.
【解法1】令$f(x)=({x}^{2}-1)lnx - {(x-1)}^{2}$，易知$f(1)=0$;
又$f^{'}(x)=2xlnx-x+2-\frac {1} {x},f^{'}(1)=0$;
又$f^{''}(x)=2lnx+1+\frac {1} {x^2},f^{''}(1)=2>0$;
可见，当$0<x<1$时，$f^{'''}(x)<0$;当$x>1$时，$f^{'''}(x)>0$,
因此当$x>0$时，$f^{''}(x)\geq f^{''}(1)=2>0$;
又由$f^{'}(1)=0$及${f}^{'}(x)$是单调函数可知，
当$0<x<1$时，${f}^{'}(x)<0$;当$x>1$时，${f}^{'}(x)>0$,
因此有
$f(x)\geq f(1)=0$
即得证：当$x>0$时，$({x}^{2}-1)lnx\geq {(x-1)}^{2}$.