一、最后一位非零数字
我们生活在一个十进制的世界。所以答案的关键在于，对于连续的这种四个整数有
$f(k)=(5k+1)(5k+2)(5k+3)(5k+4)$
$=1000A+24$
于是
$f(k)(5k+5)=(1000A+24)(5k+5))$
$=(5000A+120)(k+1)$
$=10(100B+12)(k+1)$
问题变为求$12^{18}×18!$ 的最后一个非零数字。
注意到，2 的阶乘尾数呈 2、4、8、6、2 的循环，所以$12^{18}$的尾数是 4。
而 18! 可如法炮制为得到与$12^3×3!$的尾数是8，所以90!的最后一位数字是 2。
或者，对于注意到每个 24 对应一个 5，而 24×5=120，
所以其最后一位非零数字就是 $2^{18}×18!$的最后非零数字。随后步骤如上。
二、最后两个非零数字
题目要求 90！的最后两位非零数字，其本质是
$\frac{90!}{10^{21}}(mod 100)$
我们知道，从 1 乘到 90，其中会经过 18 个 5 ，1 个 25、50 和 75，
后者各可提供两个 5，所以一共有 21 个 5 的因子，而 4 的数量大于 5，所以尾数一共有 21 个零。
所以，问题变为求 90！先除掉$10^{21}$之后，再对一百取余。
由于 4 | $\frac{90!}{10^{21}}(mod 100)$，
即$\frac{90!}{10^{21}}=0(mod 4)$，
由孙子定理（中国剩余定理），
如果$\frac{90!}{10^{21}}=a(mod 25)$，
则$\frac{90!}{10^{21}}=-24a(mod 100)$
注意到
$(5k+1)(5k+4)=4(mod 25)$
$(5k+2)(5k+3)=6(mod 25)$
可得
$(5k+1)(5k+2)(5k+3)(5k+4)=-1(mod 25)$
于是可以在取余中将所有在 5 的倍数之后的连续四位整数换成 -1，并将$\frac{90!}{10^{21}}(mod 25)$中上下的5约去，得
$\frac{(-1)^{18}×9!×2×11×12×13×14×3×16×17×18}{10^{21}}(mod 25)$，
分子、分母同乘19，得
$\frac{(-1)^{22}×2×3}{19×10^{21}}(mod 25)=\frac{3}{19×2^{20}}(mod 25)$，
因为
$19×4≡2×13(mod 25)$
所以上式替换为
$3×13^{18}(mod25)$
又注意到$13^{3}=-3(mod 25)$
所以$3×3^6≡3×27^2≡3×3^2≡12(mod 25)$
所以$\frac{90!}{10^{21}}(mod 100)=12$
故90!的最后两个非零数字是12。
附：
90!=1485715964481761497309522733620825737885569961284688766942216863704985393094065876545992131370884059645617234469978112000000000000000000000