如何笔算求 A 的 n次方根？

注：
笔者在20年前已完成了相关的研究，得出了笔算求 A 的 n次方根的基本方法。20年前的手稿（重现了当n为3，5，7，11和13时的笔算过程）仍现存书柜。

这里先讨论求\sqrt[3]{A}的情形：

需记忆：
   1³=1,2³=8,3³=27,4³=64,5³=125,6³=216,7³=343,8³=512,9³=729

【例1】笔算：\sqrt[3]{10648}

分析与解：

1、先从个位开始3位分级：
10 ^,648，共分了两级，所以根的最高位是十位；

2、从高级开始开方：
因为2³< 10< 3³，所以根的十位上是2；根2得8，余2，合起来余2648；

3、最后试求根的个位：
取整[2648÷3÷10]=88，根据根的十位是2，连续取整[88÷20]=4，[4÷2]=2，所以最后确定初根的个位是2；

4、确定根的个位：
因为3×10×2×2×（20＋2）＋2³＝2648，所以可以确定根的个位是2，刚好开尽。

所以\sqrt[{3}] {10648}=22。

【例2】笔算：\sqrt[3]{753571}

分析与解：
1、先从个位开始3位分级： 753 ^,571，共分了两级，所以根的最高位是十位；
2、从高级开始开方：因为9³< 753< 10³，所以根的十位上是9；根9得729，余24，合起来余24571；
3、最后试求根的个位：取整[24571÷3÷10]=819，根据根的十位是9，连续取整[819÷90]=9，[9÷9]=1，所以最后确定初根的个位是1；
4、确定根的个位：因为9×10×3×1×（90＋1）＋1³＝24571，所以可以确定根的个位是1，刚好开尽。

所以\sqrt[3]{753571}=91。

【例3】笔算： \sqrt[3]{1404928}

分析与解：
1、先从个位开始3位分级： 1^,404 ^,928，共分了三级，所以根的最高位是百位；
2、从高级开始开方：因为1³= 1< 2³，所以根的百位上是1；根1得1，余0，剩余404；
3、接着试求根的十位：取整[404÷3÷10]=13，根据根的十位是1，连续取整[13÷10]=9，[1÷1]=1，所以最后确定初根的十位是1；根1，得1×10×3×1×（10＋1）＋1³=331，余404－331=73，合起来余73928；
4、最后试求根的个位：取整[73928÷3÷10]=2464，根据根的前两位是11，连续取整[2464÷110]=22，[22÷11]=2，所以最后确定初根的个位是2；
4、确定根的个位：因为2×10×3×11×（110＋2）＋2³＝73928，所以可以确定根的个位是1，刚好开尽。

所以\sqrt[3]{1404928}=112。