1、$\frac{A^2}{B}$型
例题：设$x_1,x_2,\ldots,x_n$为正数，求证：
$\frac{{x_1}^2}{x_2}+\frac{{x_2}^2}{x_3}+\ldots+\frac{{x_{n-1}}^2}{x_n}+\frac{{x_n}^2}{x_1}\geqx_1+x_2+\ldots+x_n$
证明：设$x_1=x_2+\varepsilon_1,x_2=x_3+\varepsilon_2,\ldots,x_{n-1}=x_n+\varepsilon_n,x_n=x_1+\varepsilon_n,$
则有$\sum_{i = 1}^n {\varepsilon_i}=\varepsilon_1+\varepsilon_2+\ldots+\varepsilon_n=0$
原不等式左边
$=\frac{({x_2+\varepsilon_1})^2}{x_2}+\frac{({x_3+\varepsilon_2})^2}{x_3}+\ldots+\frac{({x_1+\varepsilon_n})^2}{x_1}$
$=\sum_{i = 1}^n {x_i}+2\sum_{i = 1}^n {\varepsilon_i}+\frac{{\varepsilon_1}^2}{x_2}+\frac{{\varepsilon_2}^2}{x_3}+\ldots+\frac{{\varepsilon_n}^2}{x_1}$
$\geq \sum_{i = 1}^n {x_i}$
=原不等式右边。
∴ 原不等式成立。
练习：（第24届IMO试题）
设$a,b,c为$三角形的三边长度，求证：
$b^2c(b-c)+c^2a(c-a)+a^2b(a-b)\geq 0$提示：设$a=x+y,b=y+z,c=z+x,x,y,z\in R^+$，则原不式等式可化为：
$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}-(x+y+z)\geq 0$.
2、$\frac{A^2}{B+C}$型
例题：（第二届“友谊杯”国际数学竞赛试题）
已知$a,b,c\in R^+$,求证：
$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{1}{2}(a+b+c)$
证明：设$a=\frac{b+c}{2}+\varepsilon_1,b=\frac{c+a}{2}+\varepsilon_2,c=\frac{a+b}{2}+\varepsilon_3$ ，
则有$\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3=0$。
从而不等式左边
$=\frac{(\frac{b+c}{2}+\varepsilon_1)^2}{b+c}+\frac{(\frac{c+a}{2}+\varepsilon_2)^2}{c+a}+\frac{(\frac{a+b}{2}+\varepsilon_3)^2}{a+b}$
$=\frac{1}{2}(a+b+c)+(\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3)+\frac{\varepsilon_1^2}{b+c}+\frac{\varepsilon_2^2}{c+a}+\frac{\varepsilon_3^2}{a+b}$
$\geq \frac{1}{2}(a+b+c)$=原不等式右边。
∴ 原不等式成立。
练习：
1.（第24届前苏联数学竞赛试题）已知$a_1,a_2,\ldots,a_n \in R^+$，且$\sum\limits_{i = 1}^n {a_i}=1$.求证：
$\frac{a_1^{2}}{a_1+a_2}+\frac{a_2^{2}}{a_2+a_3}+\ldots+\frac{a_n^{2}}{a_n+a_1}\geq \frac{1}{2}$
2.已知$a_i,b_i \in R^+,(i=1,2,\ldots,n)$且
$\sum\limits_{i = 1}^n {a_i } = \sum_{i = 1}^n {b_i }$ 。
求证：$\sum\limits_{i = 1}^n \frac{{}{a_i}^2} {a_i+b_i} \geq \frac{1}{2}\sum_{i = 1}^n {a_i }$
3、$\frac{A^2}{S-A}$型
例题：设$a_i \in R^+(i=1,2,\ldots,n,n\geq 2)$,
$S=\sum\limits_{i = 1}^n {a_i } $.证明：
$\sum \limits_{i = 1}^n \frac{{a_i}^2}{S-a_i} \geq \frac{S}{n-1}$.
证明：设$a_i=\frac{S-a_i}{n-1}+\partial _i,(i=1,2,\ldots,n)$
则$\partial _1+\partial _2+\ldots+\partial _n=0$
从而不等式左边
……（后略）
4、$\frac{A^2}{S-nA}$型
例题：设$a,b,c$为△ABC的三边，求证：
$\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\geq a+b+c$。
证明 ：令$S=a+b+c$，则上述不等式转化为
$\frac{a^2}{S-2a}+\frac{b^2}{S-2b}+\frac{c^2}{S-2c}\geq a+b+c$
再设$a=S-2a+\partial _1,b=S-2b+\partial _2,c=S-2c+\partial _3$，则
$\partial _1+\partial _2+\partial _3=0$
从而原不等式
左边=$\frac{(S-2a+\partial _1)^2}{S-2a}+\frac{(S-2b+\partial _2)^2}{S-2b}+\frac{(S-2c+\partial _3)^2}{S-2c}$
$=(S-2a+S-2b+S-2c)+2(\partial _1+\partial _2+\partial _3)+
\frac{{\partial _1}^2}{S-2a}+\frac{{\partial _2}^2}{S-2a}+\frac{{\partial _3}^2}{S-2a}
\geq S=a+b+c$
∴ 原不等式成立。
5、$\frac{A}{B^2}$型
例题：（第20届IMO试题）
设$a_1,a_2,\ldots,a_n$是$n$个互不相同的自然数。求证：
$\sum_{k = 1}^n {\frac{{a_k }}{{k^2 }}} \geq \sum_{k = 1}^n {\frac{1}{k}}$
证明：设$\frac{1}{k}=\frac{1}{a_k}+ \varepsilon_k$ ,
由$\sum_{k = 1}^n {a_k } \geq \sum_{k = 1}^n {k }$ 知，$\sum_{k = 1}^n \frac{1}{a_k } \leq \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k } $，则有
$\sum_{k = 1}^n \frac{1}{\varepsilon_k }=\sum_{k = 1}^n (\frac{1}{k}-\frac{1}{a_k }) \geq 0$
从而原不等式
$\sum_{k = 1}^n {\frac{{a_k }}{{k^2 }}}=\sum_{k = 1}^n \frac{(\frac{1}{k})^2}{\frac{1}{a_k}}=\sum_{k = 1}^n \frac{(\frac{1}{a_k}+\varepsilon_k)^2}{\frac{1}{a_k}}$
$=\sum_{k = 1}^n {\frac{1}{a_k}}+2\sum\limits_{k = 1}^n {\varepsilon_k}+\sum_{k = 1}^n {a_k \varepsilon_k^2}$
$\geq \sum_{k = 1}^n {(\frac{1}{a_k}+\varepsilon_k)}=\sum_{k = 1}^n {\frac{1}{k}}$
∴ 原不等式得证。