我国对高次方程的研究也开始得很早。早在唐朝，王孝通著的《辑古算经》就记载有方程${x}^{3}+p{x}^{2}+qx=A$，并说明“以立方除之”。到了13世纪的金元时期，有李冶（1192~1297）、秦九韶（1202~1261）、杨辉（1261~1275）、朱世杰（12世纪末~13世纪初）等，都曾对高次方程提出解法，当时用算筹可以解出十次方程。但在我国古代，数学偏重于应用，只讨论正根，不讨论负根，自然更没有虚根。不过在13世纪我们已经能求出高到十次方程的正根，已经很也不起，值得我们自豪！
用配方法解二次方程早在巴比伦时代就已经知道了，高于二次的方程就是另外一回事了。解一般的三次方程要困难得多，这使得许多古代数学家的努力都归于失败。直到16世纪初意大利的文艺复兴时代，这个问题才为意大利的数学家所解决。
解三次方程的步骤分为三步：
①将一般方程化为缺项的三次方程；
②解缺项的三次方程；
③解的确定。
（1）韦达公式
设一元三次方程为${y}^{3}+a{y}^{2}+by+c=0$，则 $a=-({y}_{1}+{y}_{2}+{y}_{3})$
$b={y}_{1}{y}_{2}+{y}_{2}{y}_{3}+{y}_{3}{y}_{1}$
$c=-{y}_{1}{y}_{2}{y}_{3}$
（2）缺项的三次方程
在方程${y}^{3}+a{y}^{2}+by+c=0$中，令$y=x-\frac {a} {3}$代入，即可化为不含${x}^{2}$项的三次方程
${x}^{3}+px+q=0$
（3）求根公式
引进两个未知量u和v代表一个未知量$x$。设$x=u+v$，代入缺项的三次方程中，得到
${(u+v)}^{3}+p{(u+v)}+q=0$
展开，化简得
$({u}^{3}+{v}^{3}+q)+(3uv+p)(u+v)=0$
令$3uv+p=0\leftrightarrow uv=-\frac {p} {3}$
从而
${u}^{3}+{v}^{3}=-q,{u}^{3}{v}^{3}=-\frac {{p}^{3}} {27}$
所以，${u}^{3}$和${v}^{3}$是二次方程${z}^{2}+qz-\frac {{p}^{3}} {27}=0$的两个根。解这个方程，得
$z=-\frac {q} {2}\pm \sqrt {\frac {{q}^{2}} {4}+\frac {{p}^{3}} {27}}$
因此
$u=\sqrt[{3}] {{z}_{1}}=\sqrt[{3}] {-\frac {q} {2}+\sqrt {\frac {{q}^{2}} {4}+\frac {{p}^{3}} {27}}}$
$v=\sqrt[{3}] {{z}_{2}}=\sqrt[{3}] {-\frac {q} {2}-\sqrt {\frac {{q}^{2}} {4}+\frac {{p}^{3}} {27}}}$
这样一来，就得到了缺项三次方程的一个根
$x=u+v=\sqrt[{3}] {-\frac {q} {2}+\sqrt {\frac {{q}^{2}} {4}+\frac {{p}^{3}} {27}}}+\sqrt[{3}] {-\frac {q} {2}-\sqrt {\frac {{q}^{2}} {4}+\frac {{p}^{3}} {27}}}$
知道了三次方程的一个根，就容易求出缺项三次方程的另外两个根了。
再根据最开始时的代换$y=x-\frac {a} {3}$，即可求出原一般三次方程的三个根了。
试试解下面的一个方程：
【例】解方程：$f(x)={x}^{3}-6{x}^{2}+15x-14=0$.
另解：
最高项系数因数分别是±1，常数项的因数有±1，±2，±7，±14，所以原方程的有理根可能是±1，±2，±7，±14。
易得，$f(1)=-4≠0$，$f(-1)=-36≠0$，所以±1都不是原方程的根。
另一方面，
当且仅当$α=2$时，$frac{f(1)}{1-α}$和$frac{f(-1)}{1+α}$为整数，故原方程的有理根只能是2，
验证：
2 | 1 -6 15 -14
2 -8 14
_________________
1 -4 7 0
所以，想$x=2$是原方程的有理根。
事实上，$f(x)=(x-2)(x^2-4x+7)$.