文章包含两个数学例题：第一题求曲线y=lnx的切线、与坐标轴围成图形的面积及绕直线x=e旋转的体积；第二题涉及汽锤打桩的变力做功问题，通过定积分和等比数列求和计算击打深度及极限值。两题均运用定积分进行求解。

本文探讨了π值截断后形成的素数，目前仅发现四个：3、31、314159及一个38位数（1979年发现）。前432位中未再发现其他素数。前三个素数颠倒后仍是素数。314159具有多种有趣性质，如逆素数、由三个孪生素数组成等。是否存在更多此类素数仍是未解之谜。

祖冲之及其子祖暅所著《缀术》中记载了圆周率的密率355/113和约率22/7。355/113精确到小数点后6位，保持纪录近1000年，后由阿尔·卡西打破，并在16世纪被欧洲数学家重新发现。该密率易于记忆，分子分母可表示为连续自然数的平方和，且精度极高，例如直径10千米的圆，周长误差小于3毫米，相对误...

文章讲述了圆周率符号π在历史上的多种用途：曾用于表示比率、圆周、阶乘、连乘等，后来逐渐统一为表示圆周率，但至今仍被用于表示素数计数函数，体现了π符号“身兼数职”的历史演变。

本文通过构造辅助函数$f(x)=(x^2-1)\ln x-(x-1)^2$，利用导数分析其单调性，证明当$x>0$时$f(x)\geq f(1)=0$，从而得出原不等式成立，体现了辅助函数在不等式证明中的应用。

本文介绍了笔算开7次方根和11次方根的方法，通过分级确定根的位数，估算个位数并逐步调整，最终精确计算出结果，例如$\sqrt[7]{62748517}=13$和$\sqrt[11]{584318301411328}=?$等。

本文介绍了在Vue个人博客中使用MathJax渲染LaTeX数学公式的方法，包括通过CDN引入、配置行内和跨行公式的识别符、调用渲染函数、修改默认样式以解决蓝框和溢出问题，并提醒避免使用npm版本、在动态数据获取后渲染以及注意不同CDN版本的样式类名差异。

我的数学老师朱老师其貌不扬但和蔼可亲，上课生动有趣，尤其擅长讲述数学历史，蕴含人生哲理。他严厉时目光犀利，能让学生专心听课。课后他认真负责，耐心辅导不懂的学生，并善于鼓励害怕数学的同学。一次我成绩不佳，他利用休息时间帮我补漏洞，让我重拾自信。朱老师像朋友一样陪伴我，使我改变了对数学的恐惧，爱上了数学...

文章介绍了网页中MathQuill的四个CSS类：**mathquill-editable**用于实时编辑数学公式，支持LaTeX标记（如\frac、\sqrt、上下标）；**mathquill-rendered-math**用于显示处理后的数学符号，需配合mathquill.css；**mathq...

文章介绍了获取网易云音乐长期有效外链地址的方法：从歌曲播放页复制ID，将其填入固定公式“http://music.163.com/song/media/outer/url?id=ID数字.mp3”，即可得到永久有效的下载或外链地址。

根据甲、乙的对话，利用“年龄差不变”的特点，列出等式B-4=A-B=61-A，求得年龄差为(61-4)÷3=19岁，进而得出甲现在42岁，乙现在23岁。

本文针对分母为四位数的分数等式1/□□□□+1/1988=1/□□□□，通过简化问题，推导出形如1/X+1/Y=1/Z的一般解公式：X=R(R+S)T，Y=S(R+S)T，Z=R·S·T（R,S,T为自然数），并建议读者用此公式求解原题。

已知表达式 a = (11×66+12×67+13×68+14×69+15×70)/(11×65+12×66+13×67+14×68+15×69) × 100。通过分子加11+12+13+14+15后变形为 a = 100 + (11+12+13+14+15)/(分母) × 100。利用分母介于65...

这篇文章介绍了思维联想训练的方法，包括自由联想训练（如从“电”开始快速联想词汇）和强制联想训练（如找出“大海”与“羽毛球”的联系），并提供了练习题：自由联想（从“杯子”开始1分钟联想15个词）和强制联想（3分钟找出鸡蛋与宇宙的10个联系）。

分形几何学中的分维（分数维）概念由数学家豪斯道夫于1919年提出，他认为空间维数可以连续变化，既可以是整数也可以是分数，称为豪斯道夫维数，记作$D$。其定义为：若客体沿每个独立方向扩大$L$倍，新客体为原客体的$K$倍，则$K=L^D$，即$D=\log_L K$。